[2017년 세원고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=x^2]에 대하여 [eqn: lim_h->0 {f(2+h)-f(2)}overh]의 극한값은? [4.0점]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y=x ^{2} -2x+3]이 닫힌구간 [eqn: [0,```2]]에서 롤의 정리를 만족하는 상수 [eqn: C]의 값은? [4.1점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 7]

부정적분 [eqn: int(4x^3 +2x)dx]을 구하면? [4.2점]

①

① [eqn: F(x)=x^4 +x^2 +C]	② [eqn: F(x)=x^4 -x^2 +C]

③ [eqn: F(x)=4x^4 +x^2 +C]	④ [eqn: F(x)=x^4 +2x^2 +C]

⑤ [eqn: F(x)=4x^4 +2x^2 +C]

부정적분 [eqn: int x^3 overx+1 dx +int 1overx+1 dx]를 구하면? [4.5점]

③

① [eqn: F(x)= 1over3 x^3 + 1over2 x^2 +x+C]	② [eqn: F(x)= 1over3 x^3 - 1over2 x^2 -x+C]	③ [eqn: F(x)= 1over3 x^3 - 1over2 x^2 +x+C]	④ [eqn: F(x)= - 1over3 x^3 - 1over2 x^2 +x+C]	⑤ [eqn: F(x)= 1over3 x^3 + 1over2 x^2 -x +C]

정적분 [eqn: int_1 ^3 (x-1)(x-3)dx]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

함수 [eqn: f(x)=-x^3 -3x^2 +24x-2]가 증가하는 구간이 [eqn: [a,```b]]일 때, [eqn: b-a]의 값을 구하면? [4.4점]

⑤

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: f(x)=x^4 -x^2 +2]일 때, [eqn: lim_x->2 1overx-2 int_2 ^x f(t)dt]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: 14]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 6]

서로 다른 [eqn: x]의 실근의 개수가 [eqn: 3]개인 방정식 [eqn: x^3 -3x^2 +a=0]을 만족하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위 중 정수를 모두 더한 값은? [4.6점]

④

① [eqn: -10]	② [eqn: -6]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

모든 실수 [eqn: int_a ^x f(t)dt=x^2 +5x+6]을 만족하는 함수 [eqn: f(x)]와 상수 [eqn: a]값은? [4.7점]

③

① [eqn: cases{f(x)=2x-5#a=3```또는```2]	② [eqn: {cases{f(x)=2x+5#a=3```또는```2}}]	③ [eqn: {cases{f(x)=2x+5#a=-3```또는```-2}}]

④ [eqn: {cases{f(x)=2x-5#a=-3```또는```-2}}]	⑤ [eqn: {cases{f(x)=x+5#a=-3```또는```-2}}]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +3x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 두 곡선
[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4.9점]

④

① [eqn: 5over4]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1over4]

함수 [eqn: f(x)= 1over3 x^3 -ax^2 +(a+2)x]가 구간 [eqn: [0,```1]]에서 증가하도록 실수 [eqn: a]의 범위 중 정수의 개수는? [5.0점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: lim_n->inf 1overn^5 (1^4 +2^4 +3^4 +cdots+n^4 )]의 극한값을 구하면? [4.8점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1over5]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: RMABCD]가 있다. 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]가 동시에 점 [eqn: RMA]를 출발하여 정사각형 위를 점 [eqn: RMP]는 시계 반대방향으로, 점 [eqn: RMQ]는 시계방향으로 움직인다. 출발한지 [eqn: t]초 동안 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]의 이동한 거리는 각각 [eqn: t^2 +3t], [eqn: 1over3 t^3 +t^2]이다. 출발한 후 [eqn: 3]초 동안 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]가 만난 총 횟수는? [5.1점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 36]

사차항의 계수가 각각 [eqn: 1], [eqn: -1]인 두 사차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 있다. 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]는 그림과 같이 서로 다른 두 점 [eqn: A], [eqn: B]에서 접하고 있다. 두 점 [eqn: A], [eqn: B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, 다음 중 [eqn: a le x le b]에서 함수 [eqn: f(x)-g(x)]의 최댓값과 최솟값의 합을 나타내는 것은? [5.3점]

①

① [eqn: (a-b)^4 over8]	② [eqn: (a-b)^4 over4]	③ [eqn: (a-b)^4 over2]

④ [eqn: (a-b)^4]	⑤ [eqn: 2(a-b)^4]

이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=0]이고 아래의 조건 (가), (나)를 만족한다. [eqn: f(3)]의 값은? [5.2점]

②

(가) [eqn: int_0 ^2 |f(x) |dx=- int_0 ^2 f(x)dx=4]

(나) [eqn: int_2 ^3 |f(x) |dx=int_2 ^3 f(x)dx]

① [eqn: 12]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 3]

양수 [eqn: a]에 대하여 삼차방정식 [eqn: f(x)=-x(x+a)(x-a)]의 극대점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: b]라 하자. [eqn: int_-b ^a f(x)dx=A], [eqn: int_b ^a+b f(x-b)dx=B]일 때, [eqn: int_-b ^a |f(x) |dx]의 값은? [5.3점]

③

① [eqn: -2A +B]	② [eqn: -A+B]	③ [eqn: -A+2B]

④ [eqn: A+2B]	⑤ [eqn: A+2B]

함수 [eqn: f(x)=(x-a_1 )(x-a_2 )cdots(x-a_n )]에 대하여
[eqn: 1over{(x-a_1 )(x-a_2 )cdots(x-a_n ) }=sum_k=1 ^n b_k overx-a_k]
이 성립할 때, [eqn: b_k]의 값은? (단, [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_n]은 서로 다른 실수) [5.4점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1-f `prime (a _{k} )]	③ [eqn: f`'(a_k )]

④ [eqn: 1over{f`'(a_k )]	⑤ [eqn: left{f`'(a_k )right}^2 }over2]

서술형

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: left{f(x)^n right}' =nf(x)^n-1 f(x)']이 성립함을 수학적 귀납법을 사용하여 증명하시오. (단, 임의의 숫자를 넣어서 증명하면 [eqn: 0]점) [6.0점]

ⅰ) [eqn: n=1]일 때, 준 명제는

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT } prime =1times LEFT { f(x) RIGHT } ^{0} timesf` prime (x)=f` prime (x)]

이므로 성립한다.

ⅱ) [eqn: n=k]일 때 준 조건이 성립한다고 가정하자.

즉, [eqn: LEFT [ LEFT { f(x) RIGHT } ^{k} RIGHT ] prime =kf(x) ^{k-1} f` prime (x)]라 가정하자.

[eqn: LEFT [ LEFT { f(x) RIGHT } ^{k+1} RIGHT ] prime = LEFT [ LEFT { f(x) RIGHT } ^{k} f(x) RIGHT ] prime # ``````````````````````````````````````````````=[ LEFT { f(x) RIGHT } ^{k} ] prime f(x)+ LEFT { f(x) RIGHT } ^{k} f` prime (x)# ``````````````````````````````````````````````=[k LEFT { f(x) RIGHT } ^{k-1} f` prime (x)]f(x) +left{f(x)right}^k f`'(x)# ``````````````````````````````````````````````=(k+1)left{f(x)right}^k f`'(x)]

에서 [eqn: n=k+1]일 때도 준 조건이 성립한다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^4 -4x^3 +a ge0]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]값의 범위를 증감표를 사용하여 구하여라. [5.0점]

[eqn: a ge27]

함수 [eqn: f(x)=x^2]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [9.0점]

(1) [eqn: int f(x)dx= { 1} over { 3}x^3 +C], [eqn: f`'(x)=2x]

(2) [eqn: 1over3]

(1) [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)]와 부정적분 [eqn: F(x)]를 각각

구하시오. [3.0점]

(2) [eqn: int_0 ^1 f(x)dx]를 정적분의 정의를 이용하여 구하시오. [6.0점]

[2017년 세원고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

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